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4.5.4 方差
命令 求样本方差
函数 var
格式 D=var(X) %var(X)=,若X为向量,则返回向量的样本方差.
D=var(A) %A为矩阵,则D为A的列向量的样本方差构成的行向量.
D=var(X, 1) %返回向量(矩阵)X的简单方差(即置前因子为的方差)
D=var(X, w) %返回向量(矩阵)X的以w为权重的方差

命令 求标准差
函数 std
格式 std(X) %返回向量(矩阵)X的样本标准差(置前因子为)即:
std(X,1) %返回向量(矩阵)X的标准差(置前因子为)
std(X, 0) %与std (X)相同
std(X, flag, dim) %返回向量(矩阵)中维数为dim的标准差值,其中flag=0时,置前因子为;否则置前因子为.

命令 忽略NaN的标准差
函数 nanstd
格式 y = nanstd(X) %若X为含有元素NaN的向量,则返回除NaN外的元素的标准差,若X为含元素NaN的矩阵,则返回各列除NaN外的标准差构成的向量.

命令 样本的偏斜度
函数 skewness
格式 y = skewness(X) %X为向量,返回X的元素的偏斜度;X为矩阵,返回X各列元素的偏斜度构成的行向量.
y = skewness(X,flag) %flag=0表示偏斜纠正,flag=1(默认)表示偏斜不纠正.
说明偏斜度样本数据关于均值不对称的一个测度,如果偏斜度为负,说明均值左边的数据比均值右边的数据更散;如果偏斜度为正,说明均值右边的数据比均值左边的数据更散,因而正态分布的偏斜度为 0;偏斜度是这样定义的:
其中:μ为x的均值,σ为x的标准差,E(.)为期望值算子

4.5.5 常见分布的期望和方差
命令 均匀分布(连续)的期望和方差
函数 unifstat
格式 [M,V] = unifstat(A,B) %A,B为标量时,就是区间上均匀分布的期望和方差,A,B也可为向量或矩阵,则M,V也是向量或矩阵.

命令 正态分布的期望和方差
函数 normstat
格式 [M,V] = normstat(MU,SIGMA) %MU,SIGMA可为标量也可为向量或矩阵,则M=MU,V=SIGMA2.

命令 二项分布的均值和方差
函数 binostat
格式 [M,V] = binostat(N,P) %N,P为二项分布的两个参数,可为标量也可为向量或矩阵.

4.5.6 协方差与相关系数
命令 协方差
函数 cov
格式 cov(X) %求向量X的协方差
cov(A) %求矩阵A的协方差矩阵,该协方差矩阵的对角线元素是A的各列的方差,即:var(A)=diag(cov(A)).
cov(X,Y) %X,Y为等长列向量,等同于cov([X Y]).

命令 相关系数
函数 corrcoef
格式 corrcoef(X,Y) %返回列向量X,Y的相关系数,等同于corrcoef([X Y]).
corrcoef (A) %返回矩阵A的列向量的相关系数矩阵

4.6 统计作图
4.6.1 正整数的频率表
命令 正整数的频率表
函数 tabulate
格式 table = tabulate(X) %X为正整数构成的向量,返回3列:第1列中包含X的值第2列为这些值的个数,第3列为这些值的频率.

4.6.2 经验累积分布函数图形
函数 cdfplot
格式 cdfplot(X) %作样本X(向量)的累积分布函数图形
h = cdfplot(X) %h表示曲线的环柄
[h,stats] = cdfplot(X) %stats表示样本的一些特征

4.6.3 最小二乘拟合直线
函数 lsline
格式 lsline %最小二乘拟合直线
h = lsline %h为直线的句柄

4.6.4 绘制正态分布概率图形
函数 normplot
格式 normplot(X) %若X为向量,则显示正态分布概率图形,若X为矩阵,则显示每一列的正态分布概率图形.
h = normplot(X) %返回绘图直线的句柄
说明 样本数据在图中用"+"显示;如果数据来自正态分布,则图形显示为直线,而其它分布可能在图中产生弯曲.

4.6.5 绘制威布尔(Weibull)概率图形
函数 weibplot
格式 weibplot(X) %若X为向量,则显示威布尔(Weibull)概率图形,若X为矩阵,则显示每一列的威布尔概率图形.
h = weibplot(X) %返回绘图直线的柄
说明绘制威布尔(Weibull)概率图形的目的是用图解法估计来自威布尔分布的数据X,如果X是威布尔分布数据,其图形是直线的,否则图形中可能产生弯曲.

4.6.6 样本数据的盒图
函数 boxplot
格式 boxplot(X) %产生矩阵X的每一列的盒图和"须"图,"须"是从盒的尾部延伸出来,并表示盒外数据长度的线,如果"须"的外面没有数据,则在"须"的底部有一个点.
boxplot(X,notch) %当notch=1时,产生一凹盒图,notch=0时产生一矩箱图.
boxplot(X,notch,’sym’) %sym表示图形符号,默认值为"+".
boxplot(X,notch,’sym’,vert) %当vert=0时,生成水平盒图,vert=1时,生成竖直盒图(默认值vert=1).
boxplot(X,notch,’sym’,vert,whis) %whis定义"须"图的长度,默认值为1.5,若whis=0则boxplot函数通过绘制sym符号图来显示盒外的所有数据值.

4.6.7 给当前图形加一条参考线
函数 refline
格式 refline(slope,intercept) % slope表示直线斜率,intercept表示截距
refline(slope) slope=[a b],图中加一条直线:y=b+ax.

4.6.8 在当前图形中加入一条多项式曲线
函数 refcurve
格式 h = refcurve(p) %在图中加入一条多项式曲线,h为曲线的环柄,p为多项式系数向量,p=[p1,p2, p3,…,pn],其中p1为最高幂项系数.

4.6.9 样本的概率图形
函数 capaplot
格式 p = capaplot(data,specs) %data为所给样本数据,specs指定范围,p表示在指定范围内的概率.
说明 该函数返回来自于估计分布的随机变量落在指定范围内的概率

4.6.10 附加有正态密度曲线的直方图
函数 histfit
格式 histfit(data) %data为向量,返回直方图
和正态曲线.
histfit(data,nbins) % nbins指定bar的个数,
缺省时为data中数据个数的平方根.

4.6.11 在指定的界线之间画正态密度曲线
函数 normspec
格式 p = normspec(specs,mu,sigma) %specs指定界线,mu,sigma为正态分布的参数p 为样本落在上,下界之间的概率.

4.7 参数估计
4.7.1 常见分布的参数估计
命令 β分布的参数a和b的最大似然估计值和置信区间
函数 betafit
格式 PHAT=betafit(X)
[PHAT,PCI]=betafit(X,ALPHA)
说明 PHAT为样本X的β分布的参数a和b的估计量
PCI为样本X的β分布参数a和b的置信区间,是一个2×2矩阵,其第1例为参数a的置信下界和上界,第2例为b的置信下界和上界,ALPHA为显著水平,(1-α)×100%为置信度.

命令 正态分布的参数估计
函数 normfit
格式 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)
说明 muhat,sigmahat分别为正态分布的参数μ和σ的估计值,muci,sigmaci分别为置信区间,其置信度为;alpha给出显著水平α,缺省时默认为0.05,即置信度为95%.

命令 利用mle函数进行参数估计
函数 mle
格式 phat=mle %返回用dist指定分布的最大似然估计值
[phat, pci]=mle %置信度为95%
[phat, pci]=mle %置信度由alpha确定
[phat, pci]=mle %仅用于二项分布,pl为试验次数.
说明 dist为分布函数名,如:beta(分布),bino(二项分布)等,X为数据样本,alpha为显著水平α,为置信度.

常用分布的参数估计函数
binofit
PHAT= binofit(X, N)
[PHAT, PCI] = binofit(X,N)
[PHAT, PCI]= binofit (X, N, ALPHA)
二项分布的概率的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计和置信区间

poissfit
Lambdahat=poissfit(X)
[Lambdahat, Lambdaci] = poissfit(X)
[Lambdahat, Lambdaci]= poissfit (X, ALPHA)
泊松分布的参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的λ参数和置信区间

normfit
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X, ALPHA)
正态分布的最大似然估计,置信度为95%
返回水平α的期望,方差值和置信区间

betafit
PHAT =betafit (X)
[PHAT, PCI]= betafit (X, ALPHA)
返回β分布参数a和 b的最大似然估计
返回最大似然估计值和水平α的置信区间

unifit
[ahat,bhat] = unifit(X)
[ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X)
[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X, ALPHA)
均匀分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计和置信区间

expfit
muhat =expfit(X)
[muhat,muci] = expfit(X)
[muhat,muci] = expfit(X,alpha)
指数分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计和置信区间

gamfit
phat =gamfit(X)
[phat,pci] = gamfit(X)
[phat,pci] = gamfit(X,alpha)
γ分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回最大似然估计值和水平α的置信区间

weibfit
phat = weibfit(X)
[phat,pci] = weibfit(X)
[phat,pci] = weibfit(X,alpha)
韦伯分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计及其区间估计

Mle
phat = mle(‘dist’,data)
[phat,pci] = mle(‘dist’,data)
[phat,pci] = mle(‘dist’,data,alpha)
[phat,pci] = mle(‘dist’,data,alpha,p1)
分布函数名为dist的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的最大似然估计值和置信区间
仅用于二项分布,pl为试验总次数
说明各函数返回已给数据向量X的参数最大似然估计值和置信度为(1-α)×100%的置信区间.α的默认值为0.05,即置信度为95%.

4.7.2 非线性模型置信区间预测
命令 高斯—牛顿法的非线性最小二乘数据拟合
函数 nlinfit
格式 beta = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %返回在FUN中描述的非线性函数的系数.FUN为用户提供形如的函数,该函数返回已给初始参数估计值β和自变量X的y的预测值.
[beta,r,J] = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %beta为拟合系数,r为残差,J为Jacobi矩阵,beta0为初始预测值.
说明 若X为矩阵,则X的每一列为自变量的取值,y是一个相应的列向量.如果FUN中使用了@,则表示函数的柄.

命令 非线性模型的参数估计的置信区间
函数 nlparci
格式 ci = nlparci(beta,r,J) %返回置信度为95%的置信区间,beta为非线性最小二乘法估计的参数值,r为残差,J为Jacobian矩阵.nlparci可以用nlinfit函数的输出作为其输入.

命令 非线性拟合和显示交互图形
函数 nlintool
格式 nlintool(x,y,FUN,beta0) %返回数据(x,y)的非线性曲线的预测图形,它用2条红色曲线预测全局置信区间.beta0为参数的初始预测值,置信度为95%.
nlintool(x,y,FUN,beta0,alpha) %置信度为(1-alpha)×100%

命令 非线性模型置信区间预测
函数 nlpredci
格式 ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) % ypred 为预测值,FUN与前面相同,beta为给出的适当参数,r为残差,J为Jacobian矩阵,inputs为非线性函数中的独立变量的矩阵值.
[ypred,delta] = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) %delta为非线性最小二乘法估计的置信区间长度的一半,当r长度超过beta的长度并且J的列满秩时,置信区间的计算是有效的.[ypred-delta,ypred+delta]为置信度为95%的不同步置信区间.
ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J,alpha,’simopt’,'predopt’) %控制置信区间的类型,置信度为100(1-alpha)%.’simopt’ = ‘on’ 或’off’ (默认值)分别表示同步或不同步置信区间.’predopt’='curve’ (默认值) 表示输入函数值的置信区间, ‘predopt’='observation’ 表示新响应值的置信区间.nlpredci可以用nlinfit函数的输出作为其输入.

命令 非负最小二乘
函数 nnls(该函数已被函数lsnonneg代替,在6.0版中使用nnls将产生警告信息)
格式 x = nnls(A,b) %最小二乘法判断方程A×x=b的解,返回在x≥0的条件下使得最小的向量x,其中A和b必须为实矩阵或向量.
x = nnls(A,b,tol) % tol为指定的误差
[x,w] = nnls(A,b) %当x中元素时,,当时.
[x,w] = nnls(A,b,tol)

命令 有非负限制的最小二乘
函数 lsqnonneg
格式 x = lsqnonneg(C,d) %返回在x≥0的条件下使得最小的向量x,其中C和d必须为实矩阵或向量.
x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0为初始点,x0≥0
x = lsqnonneg(C,d,x0,options) %options为指定的优化参数,参见options函数.
[x,resnorm] = lsqnonneg(…) %resnorm表示norm(C*x-d).^2的残差
[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(…) %residual表示C*x-d的残差

4.7.3 对数似然函数
命令 负分布的对数似然函数
函数 Betalike
格式 logL=betalike(params,data) %返回负分布的对数似然函数,params为向量[a, b],是分布的参数,data为样本数据.
[logL,info]=betalike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info.如果params 中输入的参数是极大似然估计值,那么info的对角元素为相应参数的渐近方差.
说明 betalike是分布最大似然估计的实用函数.似然函数假设数据样本中,所有的元素相互独立.因为betalike返回负对数似然函数,用fmins函数最小化betalike与最大似然估计的功能是相同的.

命令 负分布的对数似然估计
函数 Gamlike
格式 logL=gamlike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的分布的参数为params(即[a,b])的负对数似然函数值
[logL,info]=gamlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info.如果params中输入的参数是极大似然估计值,那么info的对角元素为相应参数的渐近方差.
说明 gamlike是分布的最大似然估计函数.因为gamlike返回对数似然函数值,故用fmins函数将gamlike最小化后,其结果与最大似然估计是相同的.

命令 负正态分布的对数似然函数
函数 normlike
格式 logL=normlike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的,负正态分布的,参数为params(即[mu,sigma])的对数似然函数值.
[logL,info]=normlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info.如果params中输入的参数是极大似然估计值,那么info的对角元素为相应参数的渐近方差.

命令 威布尔分布的对数似然函数
函数 Weiblike
格式 logL = weiblike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的,威布尔分布的,参数为params(即[a,b])的对数似然函数值.
[logL,info]=weiblike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info.如果params中输入的参数是极大似然估计值,那么info的对角元素为相应参数的渐近方差.

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